Hay quien llama a la lotería el impuesto de los ignorantes, otros prefieren verlo como una puerta a la oportunidad y los matemáticos ven en ella cifras muy exiguas. En cualquier caso, no es raro encontrar trucos y supersticiones relacionadas con la suerte: que si comprar números que terminen en cinco, que si los bajos no tocan nunca, que si hay que comprarlos en ciertas oficinas...

Las estadísticas no están de parte de los rituales, cualesquiera que estos sean. A pesar de que las tradiciones y leyendas perviven en la sociedad, lo cierto es que las matemáticas no mienten. Que toque la lotería es muy difícil. Aun así, la esperanza es lo último que se pierde, ¿no?

Lo básico sobre la lotería

Nos encontramos en el fascinante mundo de la probabilística. Los modelos probabilísticos de las matemáticas sirven para calcular las posibilidades de que ocurra algo. Existen modelos muy complejos, utilizados en investigación y que son esenciales para determinar el valor de los resultados. En el caso de la lotería, sin embargo, podemos ceñirnos a algunos de los modelos más sencillos.

Por ejemplo, la probabilidad de que te toque el gordo de Navidad es de 0,00001. En este premio una bola de entre 100.000, con una combinación de cinco números, se obtiene de un bombo único. Además, hay 1.807 premios que salen de otro bombo. Este es el sistema más sencillo de todos los jugados en las loterías españolas.

Si tenemos en cuenta el teorema de Laplace aplicado a la probabilidad, obtenemos que P (probabilidad de que ocurra un suceso) = (casos favorables)/(casos posibles). Es decir, P=1/100.000, o lo que es lo mismo: 0,00001. Cada número sale una sola vez, así que tendremos 0,00001 posibilidades por cada número que compremos de que nos toque un premio. Eso sí, tenemos 1.807 oportunidades para que ese pequeño 0,00001 sea nuestro.

Esto se vuelve mucho más complicado en otros tipos de lotería. En La Primitiva tenemos que seleccionar seis números diferentes del 1 al 49 en cada bloque. En un boleto hay un total de ocho bloques. Se pueden hacer apuestas por bloques, pagando más o menos, pero lo interesante está en la probabilidad de que nos toque.

La Primitiva, que se celebra cada martes y jueves, tiene una probabilidad de una entre 139.838.160, groso modo. Es el tipo de lotería más difícil de acertar (unas mil veces más que el gordo de Navidad). La Lotería nacional está en torno a una posibilidad entre 18.000.000 y los Euromillones en una de cada 139.838.160. En definitiva, como dicen por ahí, es más fácil que te caiga un meteoríto que que te toque la lotería, y aún así hay quien prefiere darle una vuelta de tuerca al asunto.

Tres teorías y tres formas de comprar boletos

"Imagina que tiro un dado y sale un dos. Lo vuelvo a tirar, y sale un dos. Lo tiro una tercera vez y sale, de nuevo, un dos. ¿A qué número apostarías?", con esta premisa, José Santiago García Cremades, matemático, profesor en la Universidad Miguel Hernández, divulgador científico, colaborador de Órbita Laika de RTV y experto en los tejemanejes probabilísticos.

Según nos explica Santi, tenemos tres opciones: la aproximación frecuentista, la bayesiana o la probabilística. La primera de ellas se la debemos a Godofredo Achenwall, que fue un importante economista del siglo XVIII, y es conocido por ser uno de los padres de la estadística. Según esta, puesto que el dos es el número que está saliendo, deberíamos seguir apostando por ese número. "Los economistas son frecuentistas", nos explica. "Si hay una frecuencia, no se paran a pensar si luego bajará o no. Apuestan por la tendencia".

Por el contrario, Thomas Bayes, matemático británico también del siglo XVIII, y otro de los padres de la estadística, nos habría aconsejado que nos arriesgáramos con los números que menos han salido. "El sistema bayesiano funciona en poblaciones finitas muy grandes. Funcionaría en el infinito, pero como eso no es posible, podemos utilizarlo en grandes poblaciones", comenta.

La razón es que, estadísticamente hablando, al final, tienen las mismas probabilidades de salir. Para que funcione bien la opción bayesiana, la elección tiene que tener cierta dependencia, una suerte de "memoria" o un sesgo. "Como seres finitos y estudiamos casos concretos, para nosotros este sistema tiene sentido. Para las bolas de la lotería, no".

Por último, Blaise Pascal, matemático, físico y filósofo, cuya aportación a la teoría de la probabilidad es fundamental, comentaría, probablemente con ironía, que no importa pues al final todos los números tienen, en este caso, las mismas probabilidades de salir. A esta posición se la conoce como probabilista (que no probabilística). "Las tres opciones son válidas, y las tres se contradicen", nos comenta el matemático. "Todas tienen razón y todas se equivocan. Si nos vamos a la práctica real... ".

Estos tres axiomas se cumplen por igual en los cálculos probabilísticos, ¿podemos usarlos para elegir una estrategia eficiente? Según nos explica Santi, la elección bayesiana es la que más se suele escoger entre los seres humanos. Sin embargo, en un sistema completamente aleatorio, que es lo que se intenta en la lotería, cualquiera de las tres estrategias funciona igual de bien (o igual de mal), aunque es Pascal y su probabilística la que termina dominando la escena.

¿Se puede mejorar las probabilidades para que nos toque la lotería?

Con todo esto bajo el brazo, ¿podemos utilizar alguna estrategia para mejorar nuestras posibilidades? El pronóstico no es muy halagüeño. Y no lo digo yo, lo dicen los números. Existe una serie de consejos que van desde el "comprar siempre el mismo número" a "comprar muchos boletos", pasando por comprar cifras que acaban en cinco, en siete o que sean altas.

¿Qué razón tienen?

Comprar más boletos te da más probabilidades, ¿pero de qué cifras estamos hablando? Para el gordo de Navidad, la probabilidad es de 0,00001. Aunque no son sucesos independientes en realidad, la probabilidad de que te toquen dos premios puede considerarse como tal. Por tanto, tendremos un 0,00001 de que nos toque un premio cada vez. Si tenemos dos boletos, tendremos un 0,00002 de probabilidades para que nos toque algún premio y un poquito más alta para que nos toque el Gordo.

"Si pensamos en probabilidad, sí que aumenta. Pero si pensamos en la esperanza matemática de ganar, baja", explica Santi. "Cuanto más compres, mayor es la esperanza de perder". La esperanza matemática representa la cantidad media de veces que se "espera" que ocurra un suceso. "La esperanza, en cualquier juego de lotería, es negativa;, es decir, que tú pierdas. Por eso funciona el juego".

Así que, aunque cierto, este "truco" parece ser es poco eficiente, y, sin embargo, es el más eficiente de todos. El siguiente del que hablaremos es mantenerse fiel a la cifra, cosa que tiene sentido porque cuantas más veces apostemos por él, más probabilidades hay de que sea premiado. "Si jugáramos durante 60 años seguidos al mismo número, en el gordo de Navidad, las posibilidades que tendríamos serían de 0,00001,77, un poco más altas que comprando, simplemente, un número cualquiera.

Además, de nuevo, la esperanza de perder aumenta rapidísimamente, haciendo que no merezca la pena. Encima, tenemos a Pascal diciéndonos que da lo mismo, porque la probabilidad, al final, sigue siendo igual para todos los números, por lo que no merece la pena considerarlo. ¿Qué hay de apostar por los números más comunes a nivel mundial? Aquí, tanto Bayes como Achenwall tendrían una complicada discusión sobre si es más o menos conveniente. Una vez más, Pascal sentenciaría la conversación con un "quién lo sabe". Así que llegamos a este punto sin ninguna estrategia eficiente.

Apostando por los números de la suerte

A medio caballo entre las supersticiones y los trucos tenemos el apostar a ciertos números concretos. Por ejemplo, yo he escuchado que toca mucho más a menudo los números terminados en cinco, o que el 7 y el 13 dan buena suerte. Pero veámoslo. En la lista de los últimos números agraciados con el gordo de Navidad podemos ver que los números terminados en cinco han tocado más veces que cualquier otro.

Esto podría hacernos pensar que hay más posibilidades de que toque y no es cierto. "Esto es totalmente falso", nos explica el matemático. Estamos ante una manifestación de la probabilística de Pascal: es puro azar. Estadísticamente hablando, según ampliamos el rango de tiempo, veremos que la probabilidad de que toque cualquiera de los números tiende a ser igual. Esto vale tanto para los que terminan en un número concreto como para el número completo.

En un momento dado, puede repetirse un número puntual algo más que el resto, pero no es más que una cuestión que tenderá a igualarse. Y, ¿existe más probabilidad de que toquen números bajos o altos? Volviendo a la lista, vemos que no hay ningún patrón que los defina. Y esto se debe a que existen las mismas probabilidades para todos.

También podemos verlo en los números que no han tocado todavía. Por ejemplo, el Gordo nunca ha terminado en 09, 10, 21, 25, 31, 34, 41, 42, 43, 51, 54, 59, 67, 78 y 82. Si hiciéramos caso a Bayes, probablemente deberíamos ir a por estos números. "La superstición con números es absurda, porque la selección bayesiana solo funciona cuando hay algún tipo de memoria, y el sorteo, precisamente, se ha trabajado para que sean las máquinas las que aseguren que sea lo más azaroso posible", apunta el matemático.

La administración más suertuda

Otra cuestión, probablemente la que más impacto genere entre las personas, es la de comprar en lugares que ya ha tocado. De nuevo, podríamos pensar que hay algún patrón estadístico al respecto, y también nos estaríamos engañando. Las cifras dejan claro que, otra vez, es una cuestión de suerte.

Los datos por provincias cambian de forma aleatoria cada año, y el cómputo global tiende a homogeneizarse. Algunas administraciones de lotería parecen más afortunadas que otras, como el "Trasgu de Oro" o la famosa "Doña Manolita", pero no deja de ser una cuestión de percepción.

Al final, la probabilidad de que toque en una administración u otra es directamente proporcional al número de boletos que ha vendido. Pero eso no afecta en ningún caso a las posibilidades que tendrá el comprador de que le toque. "La probabilidad global aumenta, pero la probabilidad es relativa a cada boleto", explica Santi.

Como vemos, por mucho que nos moleste, no existen verdaderas estrategias para elevar nuestras probabilidades de una manera significativa. Es el azar el que dirigirá el resultado. "Buscar una estrategia para aumentar las probabilidades de que te toque la lotería se puede considerar una superstición. Incluso cercana a la numerología", comenta el experto.

Intentar dirigir al azar no deja de ser fútil. "¿Hay alguna estrategia para aumentar la probabilidad de ganar la lotería?: no. Eso no tiene ninguna base matemática", zanja el matemático sin dudar. Y es que a la suerte no se la compra ni con estrategias ni con supersticiones.